Question

11．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，經(jīng)過C、D兩點的圓交AC、BC于點E、F，且AE=CF．當圓變化時，點C到線段EF的最大距離為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連結CD、DE、DF，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質得∠A=45°，CD⊥AB，CD=AD=BD，∠DCB=45°，易證得△ADE≌△CDF，則∠ADE=∠CDF，DE=DF，再判斷△EDF為等腰直角三角形，得到DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，由于S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DE²=$\frac{1}{4}$EF²，所以當EF越小，S_△DEF越小，加上S_△CEF+S_△EDF=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，則當EF越小，S_△DEF越小，而S_△CEF越大，此時點C到EF的距離越大，即EF最小時，點C到EF的距離最大，設點C到EF的最大距離為h，根據(jù)圓周角定理，由∠ECF=90°得EF為⊙O的直徑，所以當⊙O的直徑等于CD時，⊙O的直徑最小，即EF最小，此時可判斷四邊形CEDF為正方形，根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質易得h=$\sqrt{2}$．

解答 解：連結CD、DE、DF，如圖，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∵D是AB的中點，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∠DCB=45°，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，DE=DF，
∵∠ADF+∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，
∴△EDF為等腰直角三角形，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DE²=$\frac{1}{4}$EF²，
當EF越小，S_△DEF越小，
∵S_△CEF+S_△EDF=S_△CDE+S_△CDF=S_△CED+S_△ADE=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=4，
∴當EF越小，S_△DEF越小，而S_△CEF越大，此時點C到EF的距離越大，
即EF最小時，點C到EF的距離最大，設點C到EF的最大距離為h，
∵∠ECF=90°，
∴EF為⊙O的直徑，
∴當⊙O的直徑等于CD時，⊙O的直徑最小，即EF最小，此時∠DEC=∠DFC=90°，則四邊形CEDF為正方形，h=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
即點C到線段EF的最大距離為$\sqrt{2}$．
故選A．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、等腰直角三角形的性質；會運用三角形全等解決線段相等的問題；記住三角形的面積公式．