Question

6．在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，連接AD、BE，交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，求證∠AFE=60°；
（2）如圖2，連接FC，若∠AFC=90°，BF=4時，求AF的長度．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=AC=BC，又BD=CE，所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠CBE，利用三角形外角性質(zhì)解答即可；
（2）將△ABF繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到：△ACH，利用等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)而解答即可．

解答 證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠BCE=60°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，
∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
（2）將△ABF繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到：△ACH，如圖，

∴∠ABF=∠CAF=∠ACH，
∴△AFH是等邊三角形，
∴BF=CH=4，
∴CH∥AF，
∵∠AFC=90°，
∴∠FCH=180°-∠AFC=90°，
∴FH=2CH=8，
∴AF=8．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°；三條邊相等．