Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=4，L、M、N分別是BC、AC、AB的中點(diǎn)，D是BA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E，設(shè)BD為x，以DE為一邊在點(diǎn)B的異側(cè)作正方形DEFG，正方形DEFG與四邊形ANLM的公共部分面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量取值范圍．
（2）當(dāng)公共部分的面積為5，求正方形DEFG的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）設(shè)BD=xcm，含x的代數(shù)式表示y（cm²），求出y和x的函數(shù)關(guān)系式，要分四種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)G在D點(diǎn)或D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
②當(dāng)G在N點(diǎn)左側(cè)，而D點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)或與N點(diǎn)重合時(shí)，
③當(dāng)D在N點(diǎn)左側(cè)，而G點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)或與A點(diǎn)重合時(shí)；
④當(dāng)D在A左側(cè)時(shí)，而G點(diǎn)在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，
（2）把將y=5代入（1）的式子中，看看求出的x哪個(gè)符合條件即可．

解答：解：（1）設(shè)BD=xcm，含x的代數(shù)式表示y（cm²），求出y和x的函數(shù)關(guān)系式，
①當(dāng)G在D點(diǎn)或D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，當(dāng)正方形DEFG的邊FG與矩形ANLM的邊NL重合時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出x=

8

3

，即0＜x≤

8

3

時(shí)，此時(shí)正方形與矩形沒有重合，因此y=0；
②當(dāng)G在N點(diǎn)左側(cè)，而D點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)或與N點(diǎn)重合時(shí)，即

8

3

＜x≤4，此時(shí)正方形與矩形重合的面積應(yīng)該是以DN為長(zhǎng)，DE為寬的矩形，DN=DG-NG=DG-（BN-BD）=x-（4-

1

2

x）=

3

2

x-4．而NM=PQ=

1

2

x，因此重合部分的面積應(yīng)該是y=（

3

2

x-4）×

1

2

x=

3

4

x²-2x；
③當(dāng)D在N點(diǎn)左側(cè)，而G點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)或與A點(diǎn)重合時(shí)，即4＜x≤

16

3

時(shí)，此時(shí)正方形重合部分的面積應(yīng)該是以正方形邊長(zhǎng)為長(zhǎng)，DE為寬的矩形的面積，PN=

1

2

x，DE=2，因此此時(shí)重合部分的面積是y=

1

2

x×2=x；
④當(dāng)D在A左側(cè)時(shí)，而G點(diǎn)在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，即

16

3

＜x＜8時(shí)，此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是以LN長(zhǎng)為寬，BD長(zhǎng)為長(zhǎng)的矩形的面積．AD=AB-BD=8-x，AM=LN=2，因此此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是y=（8-x）×2=16-2x．
（2）當(dāng)

8

3

＜x≤4時(shí)，如果y=5，5=

3

4

x²-2x，解得x=

4±2 19

3

（舍去）；
當(dāng)4＜x≤

16

3

時(shí)，如果y=5，x=5，符合題意，
當(dāng)

16

3

＜x＜8時(shí)，如果y=5，5=16-2x，解得x=

11

2

，
因此當(dāng)BD=5或

11

2

cm時(shí)，y=5cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，中位線定理以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，要注意x的值不同，正方形的位置不同時(shí)，函數(shù)解析式是不同的，要分類討論，不要漏解．