Question

1．（1）已知方程x²+mx-21=0的兩個根的平方和是58，求m的值；
（2）已知方程x²+2x+m=0的兩個根的差的平方是16，求m的值；
（3）已知方程x²+3x+m=0的兩個根的差是5，求m的值；
（4）已知方程x²+3x+m=0的一個根是另一個根的2倍，求m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)方程兩根為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=-m，ab=-21，由于a²+b²=58，利用完全平方公式變形得到（a+b）²-2ab=58，然后根據(jù)根的判別式確定滿足條件的m的值；
（2）首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根的和與積，然后依據(jù)（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，代入即可得到一個關(guān)于m的方程，從而求解；
（3）由題意得x₁+x₂=-3，x₁-x₂=5，解方程即可得到結(jié)論；
（4）根據(jù)已知條件“方程x²+x+m=0的一個根是另一個根的2倍”，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=-$\frac{a}$求該方程的兩個根即可，進而求出m的值．

解答 解：（1）設(shè)方程兩根為a、b，
根據(jù)題意得a+b=-m，ab=-21，
∵a²+b²=58，
∴（a+b）²-2ab=58，
∴m²=16，解得m=4，
當(dāng)m=4時，原方程化為x²+4x-21=0，△＞0，方程有實數(shù)解，
∴m的值為4；
（2）由題意知，
x₁+x₂=-2，x₁x₂=m，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-4m=16，
∴m=3；
（3）由題意得x₁+x₂=-3，x₁-x₂=5，
解得：x₁=1，x₂=-4，
當(dāng)x₁=1時，m=-4，
當(dāng)x₂=-4時，m=4；
（4）根據(jù)題意得x₁+x₂=-3，
令x₁=x，
則x+2x=-3，
解得：x=-1，
將x=-1代入方程得出：（-1）²+3×（-1）+m=0，
解得：m=2．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．