Question

11．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD=2，AB=BC，AD=1，動(dòng)點(diǎn)M、N分別在AB邊和BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，而且AM=CN，聯(lián)結(jié)AC交MN于E，MH⊥AC于H，則EH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)M作BC的平行線交AC于點(diǎn)F，由于AB=BC，MF∥BC，得到AM=FM，因?yàn)镸H⊥AC，H是AF的中點(diǎn)，再證△MFE≌△NCE，得到FE=EC，所以E是FC的中點(diǎn)，
所以EH=$\frac{1}{2}$AC，即可解答．

解答 解：過(guò)點(diǎn)M作BC的平行線交AC于點(diǎn)F，

∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵M(jìn)F∥BC，
∴∠AFM=∠ACB，
∴∠AFM=∠BAC，
∴AM=FM，
∵M(jìn)H⊥AC，
∴H是AF的中點(diǎn)，
∵AM=CN，
∴FM=CN，
∵M(jìn)F∥BC，
∴∠FME=∠N，
在△MFE和△NCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FME=∠N}\\{∠MEF=∠NEC}\\{MF=CF}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△NCE，
∴FE=EC，
∴E是FC的中點(diǎn)，
∴HE=HF+EF=$\frac{1}{2}$AF+$+\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$（AF+FC）=$\frac{1}{2}$AC，
在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，
∴HE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線，過(guò)點(diǎn)M作BC的平行線交AC于點(diǎn)F，得到H是AF的中點(diǎn)，E是FC的中點(diǎn)．