Question

已知方程（a-x）²-4（b-x）（c-x）=0，試說明：
（1）此方程必有實(shí)數(shù)根；
（2）若a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△ABC為等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：

分析：（1）首先去括號(hào)，進(jìn)而利用配方法得出△的符號(hào)即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，進(jìn)而求出a，b，c的關(guān)系得出答案．

解答：證明：（1）（a-x）²-4（b-x）（c-x）=0
則a²-2ax+x²-4ac+4bx+4cx-4x²=0
故-3x²-（2a-4b-4c）x+a²-4bc=0
△=（2a-4b-4c）²+12（a²-4bc）
=16a²+16b²+16c²-16ab-16bc-16ac
=8（a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²）
=8[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]≥0
故此方程必有實(shí)數(shù)根；

（2）∵由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=0，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根的判別式以及配方法的應(yīng)用，正確配方得出是解題關(guān)鍵．