Question

16．如圖，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，OC=6，N為邊OB上異于點(diǎn)O的一動(dòng)點(diǎn)，P是線段CN上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q，PM∥OB交OA于點(diǎn)M．
（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求證：CN⊥OB．
（2）當(dāng)點(diǎn)N在邊OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OMPQ始終保持為菱形．
①問：$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請(qǐng)說明理由．
②設(shè)菱形OMPQ的面積為S₁，△NOC的面積為S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過P作PE⊥OA于E，利用兩組對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形得到OMPQ為平行四邊形，利用平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等得到PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，進(jìn)而求出PE與ME的長(zhǎng)，得到CE的長(zhǎng)，求出tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠PCE的度數(shù)，得到PM于NC垂直，而PM與ON平行，即可得到CN與OB垂直；
（2）$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不發(fā)生變化，理由如下：設(shè)OM=x，ON=y，根據(jù)OMPQ為菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=y-x，根據(jù)平行得到三角形NQP與三角形NOC相似，由相似得比例即可確定出所求式子的值；
②過P作PE⊥OA于E，過N作NF⊥OA于F，表示出菱形OMPQ的面積為S₁，△NOC的面積為S₂，得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，由PM與OB平行，得到三角形CPM與三角形CNO相似，由相似得比例求出所求式子$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的范圍即可．

解答 解：（1）過P作PE⊥OA于E，
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四邊形OMPQ為平行四邊形，
∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，
∴PE=PM•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，ME=$\frac{1}{2}$，
∴CE=OC-OM-ME=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠PCE=$\frac{PE}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PCE=30°，
∴∠CPM=90°，
又∵PM∥OB，
∴∠CNO=∠CPM=90°，
則CN⊥OB；
（2）①$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不發(fā)生變化，理由如下：
設(shè)OM=x，ON=y，
∵四邊形OMPQ為菱形，
∴OQ=QP=OM=x，NQ=y-x，
∵PQ∥OA，
∴∠NQP=∠O，
又∵∠QNP=∠ONC，
∴△NQP∽△NOC，
∴$\frac{QP}{OC}$=$\frac{NQ}{ON}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{y-x}{y}$，
∴6y-6x=xy．兩邊都除以6xy，得$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{6}$，即$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{6}$．
②過P作PE⊥OA于E，過N作NF⊥OA于F，
則S₁=OM•PE，S₂=$\frac{1}{2}$OC•NF，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{x•PE}{3NF}$．
∵PM∥OB，
∴∠PMC=∠O，
又∵∠PCM=∠NCO，
∴△CPM∽△CNO，
∴$\frac{PE}{NF}$=$\frac{CM}{CO}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{x（6-x）}{18}$=-$\frac{1}{18}$（x-3）²+$\frac{1}{2}$，
∵0＜x＜6，
則根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，0＜$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．