Question

12．如圖，四邊形ABCD中，E₁、E₂是AB的三等分點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是CD的三等分點．
（1）圖1，當(dāng)ABCD為梯形且AB∥CD時，四邊形E₁E₂F₂F₁的面積與四邊形ABCD面積的比為1：3
（2）圖2，當(dāng)ABCD為任意凸四邊形時，求四邊形E₁E₂F₂F₁的面積與四邊形ABCD面積的比，并說明理由．
（3）圖3，G₁、G₂是AD的三等分點，H₁、H₂是CB的三等分點，四邊形MNOP的面積與四邊形ABCD的面積的比為1：9

Answer 1

分析 （1）連接AC，AF₁，E₂F₁，E₁F₂，BF₂，CE₂，根據(jù)三角形的面積公式得到S${\;}_{△A{E}_{2}C}$=$\frac{2}{3}$S_△ABC，同理得到S${\;}_{△A{F}_{1}C}$=$\frac{2}{3}$S_△ADC，計算即可；
（2）（3）根據(jù)（1）的結(jié)論計算即可．

解答 解：如圖1，連接AC，AF₁，E₂F₁，E₁F₂，BF₂，CE₂，
∵E₁、E₂是AB的三等分點，
∴AE₂=$\frac{2}{3}$AB，
∴S${\;}_{△A{E}_{2}C}$=$\frac{2}{3}$S_△ABC，
同理，S${\;}_{△A{F}_{1}C}$=$\frac{2}{3}$S_△ADC，
∴S${\;}_{四邊形A{F}_{1}C{E}_{2}}$=$\frac{2}{3}$S_{四邊形ABCD}，
∵AE₁=E₁E₂，
∴S${\;}_{△A{F}_{1}{E}_{1}}$=S${\;}_{△{E}_{2}{F}_{1}{E}_{1}}$，
同理，四邊形E₁E₂F₂F₁的面積與四邊形ABCD面積的比為1：3，
故答案為：1：3；
（2）由（1）得，四邊形E₁E₂F₂F₁的面積與四邊形ABCD面積的比為1：3；
（3）由（1）得，四邊形G₁G₂H₂H₁的面積與四邊形ABCD面積的比為1：3；四邊形E₁E₂F₂F₁的面積與四邊形ABCD面積的比為1：3，
∴四邊形MNOP的面積與四邊形ABCD的面積的比為1：9，
故答案為：1：9．

點評 本題考查的是梯形的性質(zhì)、三角形的面積計算，掌握等底等高的三角形面積相等是解題的關(guān)鍵．