Question

16．如果一個三角形三邊的長分別為1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，那么這個三角形最長邊上的高與中線夾角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形三邊的長分別為1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，由勾股定理的逆定理可得該三角形為直角三角形，然后根據(jù)等積法可以求得斜邊上的高，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以求出斜邊中線的長度，從而可以推導(dǎo)出該三角形最長邊上的高與中線夾角的正切值．

解答 解：∵三角形三邊的長分別為1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，
又∵${1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}=（\sqrt{3}）^{2}$，
∴該三角形為直角三角形．
如下圖所示：令BC=1，AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$，CD⊥AB，CE為斜邊AB上的中線，
則$\frac{CD×AB}{2}=\frac{AC×BC}{2}$，CE=$\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得，CD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵CD⊥AB，CE=$\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，CD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴DE=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴tan∠ECD=$\frac{DE}{CD}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查勾股定理的逆定理，解直接三角函數(shù)，直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，根據(jù)直角三角形三條邊可以求出斜邊上的高，本題的關(guān)鍵是理清題意，正確作答．