Question

13．如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、G、F、H分別是邊AD、BC和對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的形狀是平行四邊形
（1）當(dāng)四邊形ABCD滿足條件AB=CD時(shí)，四邊形EFGH是菱形；
（2）當(dāng)四邊形ABCD滿足條件AB⊥CD時(shí)，四邊形EFGH是矩形；
（3）當(dāng)四邊形ABcD滿足條件AB=CD，AB⊥CD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 根據(jù)中位線的判定GH=EF=$\frac{1}{2}$AB，EH=FG=$\frac{1}{2}$CD，所以四邊形EFGH是平行四邊形；
（1）根據(jù)菱形的判定，四邊都相等的四邊形是菱形，只要證明EF=FG=GH=HE就可以了，這就需要AB=CD這個(gè)條件；
（2）根據(jù)“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”來推斷．由三角形中位線定理和平行四邊形的判定定理易推知四邊形EFGH是平行四邊形，若FE⊥EH或者EG=FH就可以判定四邊形EFGH是矩形；
（3）正方形是一特殊的菱形：內(nèi)角是直角的菱形為正方形．所以當(dāng)（2）中的菱形EFGH鄰邊相互垂直即可證得該菱形是正方形．

解答 證明：∵E、F分別是AD，BD的中點(diǎn)，G、H分別中BC，AC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB；GH∥AB，GH=$\frac{1}{2}$AB．
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；

（1）當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形EFGH是菱形．
理由：∵E、F分別是AD，BD的中點(diǎn)，H，G分別是AC，BC的中點(diǎn)，G、F分別是BC，BD的中點(diǎn)，E，H分別是AD，AC的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，HG=$\frac{1}{2}$AB，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$CD，EH=$\frac{1}{2}$CD，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=EH．
∴四邊形EFGH是菱形；
故答案為：AB=CD；

（2）當(dāng)AB⊥CD時(shí)，四邊形EFGH是矩形，
∵AB⊥CD，GH∥AB，EH∥CD，
∴EH⊥GH，
即∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH是矩形；
故答案為：AB⊥CD；

（3）當(dāng)AB=CD且AB⊥CD時(shí)，四邊形EFGH是正方形；
理由：∵AB⊥CD，GH∥AB，EH∥CD，
∴EH⊥GH，
即∠EHG=90°，
∵當(dāng)AB=CD時(shí)，四邊形EFGH是菱形，
∴四邊形EFGH是正方形；
故答案為：AB=CD，AB⊥CD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角形的中位線定理和平行四邊形的判定和菱形的判定以及正方形的判定等知識(shí)，熟練掌握中點(diǎn)四邊形的判定是解題關(guān)鍵．