Question

已知⊙O中，弦AB=AC，點(diǎn)P是∠BAC所對(duì)弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PA．
（Ⅰ）如圖①，把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACQ，求證：點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上．
（Ⅱ）如圖②，若∠BAC=60°，試探究PA、PB、PC之間的關(guān)系．
（Ⅲ）若∠BAC=120°時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：證明題

分析：（Ⅰ）連結(jié)PC，如圖①，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABP=∠ACQ，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ABP+∠ACP=180°，則∠ACQ+∠ACP=180°，于是可判斷點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上；
（Ⅱ）把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACQ，如圖②，則由①得點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，而∠BAP+∠PAC=60°，則∠PAC+∠CAQ=60°，即∠PAQ=60°，于是可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ=PA=PB+PC；
（Ⅲ）把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACQ，如圖③，由①得點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，由∠BAP+∠PAC=120°，得到∠PAC+∠CAQ=120°，即∠PAQ=120°，可計(jì)算出∠P=∠Q=30°，作AH⊥PQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得PH=QH，在Rt△APH中，利用余弦的定義得cos∠APH=cos30°=

PH

PA

=

3

2

，則PH=

3

2

PA，由于PQ=PC+CQ=PC+PB=2PH，所以得到PB+PC=

3

PA．

解答：（Ⅰ）證明：連結(jié)PC，如圖①，
∵把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACQ，
∴∠ABP=∠ACQ，
∵四邊形ABPC為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABP+∠ACP=180°，
∴∠ACQ+∠ACP=180°，
∴點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上；

（Ⅱ）解：PA=PB+PC．理由如下：
把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACQ，如圖②，
由①得點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，
而∠BAC=60°，即∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAC+∠CAQ=60°，即∠PAQ=60°，
∴△APQ為等邊三角形，
∴PQ=PA，
∴PA=PC+CQ=PC+PB；
（Ⅲ）（2）中的結(jié)論不成立，PA、PB、PC之間的關(guān)系為

3

PA=PB+PC．理由如下：
把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACQ，如圖③，
由①得點(diǎn)P、C、Q三點(diǎn)在同一直線上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，PB=CQ，
而∠BAC=120°，即∠BAP+∠PAC=120°，
∴∠PAC+∠CAQ=120°，即∠PAQ=120°，
∴∠P=∠Q=30°，
作AH⊥PQ，則PH=QH，
在Rt△APH中，cos∠APH=cos30°=

PH

PA

=

3

2

，
∴PH=

3

2

PA，
而PQ=PC+CQ=PC+PB=2PH，
∴PB+PC=2×

3

2

PA=

3

PA．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)解決線段相等的問題．