Question

17．△ADE中，AE=AD且∠EAD=90°．

（1）如圖1，若EC、DB分別平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于點(diǎn)C、B，連接BC，請(qǐng)你判斷AB、AC是否相等，并說(shuō)明理由；
（2）△ADE的位置保持不變，將（1）中的△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，線(xiàn)段CD與BE相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你判斷線(xiàn)段BE與CD的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A，利用“ASA”證明△AEC≌△ADB即可得出結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△AEB≌△ADC，從而可得BE=CD，再利用角的相等關(guān)系，互余關(guān)系證明BE⊥CD．

解答 解：（1）AB=AC．理由如下：
∵EC、DB分別平分∠AED、∠ADE，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AED，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠ADE，
∵∠AED=∠ADE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵在△AEC和△ADB中，∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A，
∴△AEC≌△ADB，
∴AB=AC；

（2）BE=CD且BE⊥CD．理由如下：
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠DAC，
∵在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴EB=CD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°，
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°，
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°，
∴∠DOE=90°，
∴BE⊥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用角的相等關(guān)系，線(xiàn)段的相等關(guān)系將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．