Question

16．已知：關于x的一元二次方程$\frac{a}{3}$x²-ax+x+$\frac{2}{3}$a-1=0（a為實數(shù)）．
（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍；
（2）若a為整數(shù)，且方程的兩個根均為正整數(shù)，求a的值；
（3）�。�2）中a的最小值，此時方程的兩個根是直角三角形的兩邊長度，求第三邊長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義得a≠0，再計算判別式的值，然后解關于a的不等式得到a的范圍；
（2）先利用求根公式得到x₁=1，x₂=2-$\frac{3}{a}$，然后根據(jù)有理數(shù)的整除性可判斷a的值；
（3）分類討論：3為斜邊和3不是斜邊，利用勾股定理計算第三邊．

解答 解：（1）$\frac{a}{3}$≠0，即a≠0，
△=（1-a）²-4×$\frac{a}{3}$×（$\frac{2}{3}$a-1）
=$\frac{1}{9}$a²-$\frac{2}{3}$a+1
=$\frac{1}{9}$（a-3）²，
∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴$\frac{1}{9}$（a-3）²＞0，
∴a-3≠0，解得a≠3，
∴a的取值范圍為a≠0且a≠3；
（2）x=$\frac{a-1±\frac{1}{3}（a-3）}{2×\frac{a}{3}}$，
所以x₁=1，x₂=$\frac{2a-3}{a}$=2-$\frac{3}{a}$，
∵a為整數(shù)，1-$\frac{3}{a}$為正整數(shù)，
∴a=-1或a=-3；
（3）當a=-3時，x₁=1，x₂=3，
當1和3為直角邊時，第三邊的長=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
當3為斜邊時，第三邊的長=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．解決（2）小題的關鍵是利用公式法求出兩根，利用有理數(shù)的整除性求a的值．