Question

11．關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x²+2（m+1）x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線y=-x²+（m+1）x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，設(shè)拋物線的對(duì)軸交x軸于點(diǎn)E，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使P點(diǎn)到x軸的距離等于P點(diǎn)到直線BD的距離？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖2，作CF⊥DE于F，M為射線EA上一動(dòng)點(diǎn)．如果在線段EF上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)N滿足△CFN與△NEM相似，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得△=0且m+1≠0，解方程即可解決問題．
（2）存在．如圖1中，①當(dāng)P在x軸上方時(shí)，作PM⊥BD，設(shè)PM=PE=m，②當(dāng)P′在x軸下方時(shí)，作P′N⊥BD于N．設(shè)P′N=P′E=m，分別構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）如圖2中，當(dāng)以CM為直徑的⊙K與EF相切時(shí)，恰好存在兩個(gè)點(diǎn)N，使得△MNE和△CFN相似，首先證明這個(gè)結(jié)論．設(shè)EM=a，連接KN，則KN是梯形CFEM的中位線，
可得KN=$\frac{1+a}{2}$，CM=1+a，在Rt△CMO中，根據(jù)CM²=CO²+OM²，列出方程求出a，即可解決問題．

解答 解：（1）∵一元二次方程（m+1）x²+2（m+1）x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0且m+1≠0，
∴4（m+1）²-4（m+1）×2=0，
解得m=±1，
∵m≠-1，
∴m=1，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3．

（2）存在．如圖1中，

①當(dāng)P在x軸上方時(shí)，作PM⊥BD，設(shè)PM=PE=m，
由題意可知A（-1，0），B（3，0），D（1，4），
，∴DE=4，BE=2，BD=$\sqrt{D{E}^{2}+E{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△PDM中，∵PD²=DM²=PM²，
∴（4-m）²=（2$\sqrt{5}$-2）²+m²，
解得m=$\sqrt{5}$-1，
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)（2，$\sqrt{5}$-1）．

②當(dāng)P′在x軸下方時(shí)，作P′N⊥BD于N．設(shè)P′N=P′E=m，
在Rt△DP′N中，∵P′D²=DN²+P′N²，
∴（4+m）²=（2$\sqrt{5}$+2）²+m²，
解得m=$\sqrt{5}$+1，
∴此時(shí)點(diǎn)P′坐標(biāo)（2，-$\sqrt{5}$-1）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，$\sqrt{5}$-1）或（2，-$\sqrt{5}$-1）時(shí)，P點(diǎn)到x軸的距離等于P點(diǎn)到直線BD的距離．

（3）如圖2中，當(dāng)以CM為直徑的⊙K與EF相切時(shí)，恰好存在兩個(gè)點(diǎn)N，使得△MNE和△CFN相似．

①設(shè)切點(diǎn)為N，則∠CNM=90°，
∵∠CFN=∠MEN=90°，
∴∠MNE+∠CNF=90°，∠CNF+∠NCF=90°，
∴∠MNE=∠NCF，
∴△MNE∽△NCF．
②作C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接MC′交DE于N′，
∵∠CN′F=∠C′N′F=∠MN′E，∠CFN′=∠MEN′=90°，
∴△N′ME∽△N′CF．
∴當(dāng)以CM為直徑的⊙K與EF相切時(shí)，恰好存在兩個(gè)點(diǎn)N，使得△MNE和△CFN相似，
設(shè)EM=a，連接KN，則KN是梯形CFEM的中位線，
∴KN=$\frac{1+a}{2}$，CM=1+a，
在Rt△CMO中，∵CM²=CO²+OM²，
∴（1+a）²=（a-1）²=3²，
解得a=$\frac{9}{4}$，
∴OM=EM-OE=$\frac{9}{4}$-1=$\frac{5}{4}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（-$\frac{5}{4}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程，學(xué)會(huì)利用直徑所對(duì)的圓周角是直角、解決直角三角形相似問題，屬于中考?jí)狠S題．