Question

如圖，在等腰△ABC中，AC=BC，分別以AC、BC為邊作等邊△ACE和△BCD．
（1）當(dāng)兩等邊三角形如圖（1）所示位置時(shí)，BD交AE于F，連接CF，求證：CF平分∠ACB；
（2）都能夠兩等邊三角形如圖（2）所示位置時(shí)，EA的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于F，（1）中結(jié)論是否仍然成立？為什么？
（3）當(dāng)兩等邊三角形如圖（3）所示位置時(shí)，猜想射線CF平分圖中的哪些角？（不另作輔助線，不要求證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求證△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，得出結(jié)論；
（2）結(jié)論是否仍然成立，類比（1）的方法求證△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，得出結(jié)論；
（3）由（1）（2）可知，實(shí)際上CF是整個(gè)圖形的對(duì)稱軸所在的直線，由此寫(xiě)出平分的角即可．

解答： （1）證明：∵CA=CB
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD為等邊三角形
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠FAB=∠FBA
∴AF=BF．
在三角形ACF和△CBF中，

AF=BF AC=BC CF=CF

，
∴△AFC≌△CEB（SSS），
∴∠ACF=∠BCF，
∴CF平分∠ACB；
（2）解：結(jié)論CF平分∠ACB仍然成立．
理由：∵CA=CB
∴∠CAB=∠CBA
∵△AEC和△BCD為等邊三角形
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠FAB=∠FBA，
∴AF=BF．
在三角形ACF和△CBF中，

AF=BF AC=BC CF=CF

，
∴△AFC≌△CEB（SSS），
∴∠ACF=∠BCF，
∴CF平分∠ACB；
（3）解：CF平分∠ECB，∠ACD，∠EFB，∠DFA．

點(diǎn)評(píng)：此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及角平分線的意義，結(jié)合圖形，靈活運(yùn)用已知條件解決問(wèn)題．