Question

9．如圖所示，一架長(zhǎng)4m的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾角α為60°．
（1）求AO與BO的長(zhǎng)；
（2）若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行，如圖2所示，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC：BD=2：3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑多少米．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)OB=$\frac{1}{2}$AB，求出OB，再根據(jù)勾股定理求出OA即可．
（2）設(shè)AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，理由勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，∵AB=4，∠ABO=60°，∠AOB=90°，
∴∠BAO=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

（2）∵AC：BD=2：3，
∴可以假設(shè)AC=2x，BD=3x，
在Rt△COD中，∵∠COD=90°，CO=2$\sqrt{3}$-2x，OD=2+3x，CD=4，
∴（2$\sqrt{3}$-2x）²+（2+3x）²=4²，
解得x=$\frac{8\sqrt{3}-12}{13}$或（0舍棄）．
∴梯子頂端A沿NO下滑$\frac{16\sqrt{3}-24}{13}$米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中根據(jù)梯子長(zhǎng)不會(huì)變的等量關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．