Question

3．對a，b定義一種新運算M，規(guī)定M（a，b）=$\frac{2ab}{a-b}$，這里等式右邊是通常的四則運算，例如：M（2，3）=$\frac{2×2×3}{2-3}$=-12．
（1）如果M（2x，1）=M（1，-1），求實數(shù)x的值；
（2）若令y=M（x+$\frac{3}{2}$，x-$\frac{1}{2}$），則y是x的函數(shù)，當(dāng)自變量x在-1≤x≤2的范圍內(nèi)取值時，函數(shù)值y為整數(shù)的個數(shù)記為k，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義新運算的計算方法列出方程求得x的數(shù)值即可；
（2）根據(jù)定義新運算的計算方法列出二次函數(shù)解析式，進(jìn)一步利用x的取值范圍，得出y的取值范圍，求得y的整數(shù)值，進(jìn)一步確定k的值即可．

解答 解：（1）∵M(jìn)（2x，1）=M（1，-1），
∴$\frac{4x}{2x-1}$=$\frac{-2}{2}$，
解得：x=$\frac{1}{6}$；
經(jīng)檢驗：x=$\frac{1}{6}$是原分式方程的解．
（2）y=M（x+$\frac{3}{2}$，x-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{2（x+\frac{3}{2}）（x-\frac{1}{2}）}{（x+\frac{3}{2}）-（x-\frac{1}{2}）}$
=x²+x-$\frac{3}{4}$=（x+$\frac{1}{2}$）²-1，
∵當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，y=-1，當(dāng)x=2時，y=5$\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)-1≤x≤2時，y的整數(shù)值由-1，0，1，2，3，4，5這7個數(shù)；
即k=7．

點評 此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解分式方程，理解定義新運算的方法，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及解分式方程的步驟與方法是解決問題的關(guān)鍵．