Question

14．過反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象上一點A作x軸的垂線交x軸于點B，O為坐標原點，且△ABO的面積S_△ABO=4．
（1）求k的值；
（2）若二次函數y=ax²與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的圖象交于點C（-2，m），請結合函數圖象寫出滿足ax²＜$\frac{k}{x}$的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設點A的坐標為（n，$\frac{k}{n}$），根據坐標系中點的意義可用含n和k的代數式表示出△ABO的兩條直角邊OB和AB的長度，結合三角形的面積公式可得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2）令x=-2，可求出m的值，即得出點C的坐標，將點C的坐標代入二次函數的解析式中求出a值，畫出圖形，結合圖象即可得出結論．

解答 解：（1）設點A的坐標為（n，$\frac{k}{n}$），
∵AB⊥x軸，
∴OB=|n|，AB=|$\frac{k}{n}$|，
∵△ABO的面積S_△ABO=$\frac{1}{2}$OB•AB=-$\frac{k}{2}$=4，
∴k=-8．
（2）依照題意畫出圖形，如圖所示．

令x=-2，y=$\frac{-8}{-2}$=4，
即點C的坐標為（-2，4）．
∵點C（-2，4）在二次函數y=ax²的圖象上，
∴4=（-2）²a，解得：a=1．
結合圖象可知：當-2＜x＜0時，y=-$\frac{8}{x}$的圖象在y=x²的圖象的上方，
∴滿足x²＜-$\frac{8}{x}$的x的取值范圍為：-2＜x＜0．

點評 本題考查了二次函數與不等式、待定系數法求函數解析式以及三角形的面積公式，解題的關鍵是：（1）根據三角形的面積公式得出關于k的一元一次方程；（2）畫出圖象，數形結合解決不等式問題．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，先由待定系數法求出函數解析式，再畫出函數圖象，最后利用數形結合解決不等式的問題．