Question

14．已知，點C在y軸上，OC=3，將線段OC繞點O順時針旋轉90°至OB的位置，點A的橫坐標為方程x²-1=0的一個解且點A、B在y軸兩側．
（1）求經過A、B、C的拋物線的解析式；
（2）如圖，點P是拋物線的對稱軸l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；
（3）在如圖拋物線的對稱軸l上是否存在點M，使△MAC為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分兩種情形①C（0，3），B（3，0），A（-1，0），②C（0，-3），B（-3，0），A（1，0）分別利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖1可知，拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，連接BC與對稱軸的交點即為所求的點P，根據$\frac{BH}{BO}$=$\frac{PH}{CO}$，BO=CO，得PH=BH=2，由此即可解決問題．
（3）設點M的坐標為（1，m），在△MAC中，AC²=10，MC²=1+（m-3）²，MA²=4+m²，分三種情形分別列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵OC=3，且在y軸上，
∴C（0，3）或C（0，-3）
∵OC繞點O順時針旋轉90°至OB位置
∴OB=OC=3
∴C（0，3），B（3，0）或C（0，-3），B（-3，0）
解x²-1=0得x₁=1，x₂=-1
∴C（0，3），B（3，0），A（-1，0）或C（0，-3），B（-3，0），A（1，0）
①設y=a（x+1）（x-3）
代入C（0，3），得-3a=3
∴a=-1
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3
②設y=a（x-1）（x+3）
代入C（0，-3），得-3a=-3∴a=1
∴y=（x-1）（x+3）=x²+2x-3
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3或y=x²+2x-3

（2）如圖1可知，拋物線的解析式為y=-x²+2x+3

∴拋物線的對稱軸是直線x=1
當點P落在線段BC上時，PA+PC最小，△PAC的周長最小，
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H，
由$\frac{BH}{BO}$=$\frac{PH}{CO}$，BO=CO，得PH=BH=2
∴點P的坐標為（1，2）

（3）設點M的坐標為（1，m）
在△MAC中，AC²=10，MC²=1+（m-3）²，MA²=4+m²
①當∠MAC=90°時，AM²+AC²=MC²
解方程4+m²+10=1+（m-3）²，
∴m=-$\frac{2}{3}$，
∴點M的坐標為（1，-$\frac{2}{3}$）

②當∠AMC=90°時，CM²+AM²=AC²．
解方程1+（m-3）²+4+m²=10，
∴m=2或m=1
∴點M的坐標為（1，1）或（1，2）

③當∠ACM=90°時，CM²+CA²=AM²．
解方程1+（m-3）²+10=4+m²，
∴m=$\frac{8}{3}$
點M的坐標為（1，$\frac{8}{3}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、最值問題、勾股定理，直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用對稱解決最值問題，屬于中考壓軸題．