Question

9．如圖1，四邊形ABCD是正方形，△ADE經(jīng)旋轉(zhuǎn)后與△ABF重合．

（1）旋轉(zhuǎn)中心是點A；
（2）旋轉(zhuǎn)角是90度； 
（3）如果連接EF，那么△AEF是等腰直角 三角形．
（4）用上述思想或其他方法證明：如圖2，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°．
求證：EF=BE+DF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的概念可得，旋轉(zhuǎn)中心是點A；
（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的概念可得，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定方法進行判斷即可；
（4）運用旋轉(zhuǎn)變換，將△ABE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90⁰，得到△ADE′，再判定△EAF≌△E′AF（SAS），進而得到EF=E′F，再根據(jù)E′F=DF+DE′，E′D=BE，得出EF=BE+DF．

解答 解：（1）由圖1可得，旋轉(zhuǎn)中心是點A，
故答案為：點A；

（2）由圖1可得，旋轉(zhuǎn)角=∠DAB=90°，
故答案為：90；

（3）根據(jù)∠EAF=∠DAB=90°，AE=AF可得，△AEF是等腰直角三角形；
故答案為：等腰直角；

（4）如圖所示，將△ABE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE′，
因為∠EAF=45°，
所以∠BAE+∠DAF=45°，
因為∠BAE=∠DAE′，
所以∠FAE′=45°，
所以∠FAE′=∠FAE，
因為∠ADE′=∠ADF=90°，
所以E'、D、F三點共線，
又因為AF=AF，AE=AE′，
所以△EAF≌△E′AF（SAS），
所以EF=E′F，
因為E′F=DF+DE′，E′D=BE，
所以EF=BE+DF．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進行推導(dǎo)．