Question

如圖，兩個同心圓的圓心為O，兩圓的半徑分別為5，3，其中A，B兩點在大圓上，C，D在小圓上，且∠AOB=∠COD．
（1）求證：AC=BD；
（2）若∠AOB=120°，求線段AC，弧CD，線段BD，弧AB組成的封閉圖形的面積；
（3）若AB與小圓相切，分別求AB，CD的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如要證明AC=BD，則通過可證明△AOC≌△BOD即可；
（2）由題意可知線段AC，弧CD，線段BD，弧AB組成的封閉圖形的面積，即為扇形AOB的面積，即為△ACO繞O旋轉(zhuǎn)120度后，AC掃過的面積；
（3）切點為E，連接OE，首先利用勾股定理可求出BE的長，進而求出AB的長，再證明△AOB∽△COD，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出CD的長．

解答：（1）證明：在△AOC和△BOD中，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，OC=OD，
在△AOC和△BOD中，

OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
                              
（2）解：封閉圖形的面積=

120

360

×16π=

16π

3

．   

（3）解：設(shè)切點為E，連接OE，
∵AB與小圓相切，
∴OE⊥AB，AB=2BE
由勾股定理得，BE=4，
∴AB=8．                                 
∵∠AOB=∠COD，

OA

OC

=

OB

OD

，
∴△AOB∽△COD，
∴

AB

CD

=

OA

OC

=

5

3

∴CD=

24

5

．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理的運用以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度中等．