Question

4．如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點與數(shù)軸上原點重合，兩圓在數(shù)軸上做無滑動的滾動，小圓的運(yùn)動速度為每秒π個單位，大圓的運(yùn)動速度為每秒2π個單位．

（1）若大圓沿數(shù)軸向左滾動1周，則該圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)是-4π；
（2）若大圓不動，小圓沿數(shù)軸來回滾動，規(guī)定小圓向右滾動時間記為正數(shù)，向左滾動時間記為負(fù)數(shù)，依次滾動的情況記錄如下（單位：秒）：-1，+2，-4，-2，+3，-8
①第幾次滾動后，小圓離原點最遠(yuǎn)？
②當(dāng)小圓結(jié)束運(yùn)動時，小圓運(yùn)動的路程共有多少？此時兩圓與數(shù)軸重合的點之間的距離是多少？（結(jié)果保留π）
（3）若兩圓同時在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動，滾動一段時間后兩圓與數(shù)軸重合的點之間相距6π，求此時兩圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)．

Answer 1

分析 （1）該圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)，就是大圓的周長；
（2）①分別計算出第幾次滾動后，小圓離原點的距離，比較作答；
②先計算總路程，因為大圓不動，計算各數(shù)之和為-10，即小圓最后的落點為原點左側(cè)，向左滾動10秒，距離為10π；
（3）分四種情況進(jìn)行討論：大圓和小圓分別在同側(cè)，異側(cè)時，表示出各自與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)．根據(jù)兩圓與數(shù)軸重合的點之間相距6π列等式，求出即可．

解答 解：（1）若大圓沿數(shù)軸向左滾動1周，則該圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)是-2π•2=-4π，
故答案為：-4π；
（2）①第1次滾動后，|-1|=1，
第2次滾動后，|-1+2|=1，
第3次滾動后，|-1+2-4|=3，
第4次滾動后，|-1+2-4-2|=5，
第5次滾動后，|-1+2-4-2+3|=2，
第6次滾動后，|-1+2-4-2+3-8|=10，
則第6次滾動后，小圓離原點最遠(yuǎn)；
②1+2+4+3+2+8=20，
20×π=20π，
-1+2-4-2+3-8=-10，
∴當(dāng)小圓結(jié)束運(yùn)動時，小圓運(yùn)動的路程共有20π，此時兩圓與數(shù)軸重合的點之間的距離是10π；
（3）設(shè)時間為t秒，
分四種情況討論：
i）當(dāng)兩圓同向右滾動，
由題意得：t秒時，大圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)：2πt，
小圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)為：πt，
2πt-πt=6π，
2t-t=6，
t=6，
2πt=12π，πt=6π，
則此時兩圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)分別為12π、6π．
ii）當(dāng)兩圓同向左滾動，
由題意得：t秒時，大圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)：-2πt，
小圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)：-πt，
-πt+2πt=6π，
-t+2t=6，
t=6，
-2πt=-12π，-πt=-6π，
則此時兩圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)分別為-12π、-6π．
iii）當(dāng)大圓向右滾動，小圓向左滾動時，
同理得：2πt-（-πt）=6π，
3t=6，
t=2，
2πt=4π，-πt=-2π，
則此時兩圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)分別為4π、-2π．
iiii）當(dāng)大圓向左滾動，小圓向右滾動時，
同理得：πt-（-2πt）=6π，
t=2，
πt=2π，-2πt=-4π，
則此時兩圓與數(shù)軸重合的點所表示的數(shù)分別為-4π、2π．

點評 本題考查了數(shù)軸及圓的幾何變換，還考查了一元一次方程的應(yīng)用，用方程解決此類問題比較簡單，同時又利用了分類討論的思想，明確向右移動坐標(biāo)加的關(guān)系，向左移動坐標(biāo)減的關(guān)系．