Question

12．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）說明BE=CF的理由；
（2）如果AB=a，AC=b，求AE，BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接DB、DC，先由角平分線的性質(zhì)就可以得出DE=DF，再證明△DBE≌△DCF就可以得出結(jié)論；
（2）由條件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，進(jìn)而就可以求出結(jié)論．

解答 解：（1）連接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=CF．

（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，
∴AE=AC+CF．
∵AE=AB-BE，
∴AC+CF=AB-BE
∵AB=a，AC=b，
∴b+BE=a-BE，
∴BE=$\frac{a-b}{2}$，
∴AE=a-$\frac{a-b}{2}$=$\frac{a+b}{2}$．
答：AE=$\frac{a+b}{2}$，BE=$\frac{a-b}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，中垂線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．