Question

3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作⊙O的切線交DA的延長線于點(diǎn)F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，求DE和CE的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，如圖，由AD⊥AB，根據(jù)圓周角定理的推理可得BD為⊙O的直徑，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠DBA+∠ABF=90°，則利用等角的余角相等得∠D=∠ABF，根據(jù)圓周角定理有∠D=∠C，已知條件有∠ABF=∠ABC．所以∠C=∠ABC，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到AB=AC；
（2）利用∠D=∠ABF可得cosD=cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，在Rt△ABD中利用三角函數(shù)得定義可計(jì)算出BD=5，利用勾股定理可計(jì)算出AB=3，接著證明Rt△ABE∽R(shí)t△ADB，利用相似比可計(jì)算出AE=$\frac{9}{4}$，BE=$\frac{15}{4}$，則DE=AD-AE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，然后證明△EDB∽△ECA，則可利用相似比計(jì)算出CE．

解答 （1）證明：連結(jié)BD，如圖，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴BD為⊙O的直徑，
∵BF為⊙O的切線，
∴BD⊥BF，
∴∠DBA+∠ABF=90°，
∵∠DBA+∠D=90°，
∴∠D=∠ABF，
∵∠D=∠C，∠ABF=∠ABC．
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
（2）解：∵∠D=∠ABF，
∴cosD=cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，
在Rt△ABD中，∵cosD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
而AD=4，
∴BD=5，
∴AB=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵∠ABC=∠D，
∴Rt△ABE∽R(shí)t△ADB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{BD}$，即$\frac{AE}{3}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{BE}{5}$，
∴AE=$\frac{9}{4}$，BE=$\frac{15}{4}$，
∴DE=AD-AE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∵∠C=∠D，∠DBE=∠CAE，
∴△EDB∽△ECA，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{BE}{AE}$，即$\frac{\frac{7}{4}}{CE}$=$\frac{\frac{15}{4}}{\frac{9}{4}}$，
∴CE=$\frac{21}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．