Question

12．如圖，直線y=x+2與拋物線y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+c相交于A、B兩點，若∠AOB=45°，則c的值為$\frac{\sqrt{11}}{2}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出點A、B的坐標，利用兩點間的距離公式可求出OA、OB、AB的長度，設直線y=x+2與x軸的交點為C，由直線AB的解析式為y=x+2可得出∠BCO=45°=∠BOA，結(jié)合公共角∠CBO=∠OBA可得出△BCO∽△BOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出$\frac{AB}{OB}$=$\frac{OA}{CO}$，代入數(shù)據(jù)即可得出4c²-11=0，解之即可得出c值．

解答 解：聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2-2\sqrt{3-c}}\\{{y}_{1}=4-2\sqrt{3-c}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2+2\sqrt{3-c}}\\{{y}_{2}=4+2\sqrt{3-c}}\end{array}\right.$，
∴點A（2-2$\sqrt{3-c}$，4-2$\sqrt{3-c}$），B（2+2$\sqrt{3-c}$，4+2$\sqrt{3-c}$），
∴OA=$\sqrt{44-8c-24\sqrt{3-c}}$，OB=$\sqrt{44-8c+24\sqrt{3-c}}$，AB=4$\sqrt{6-2c}$．
設直線y=x+2與x軸的交點為C（如圖所示），則點C的坐標為（-2，0）．
∵直線AC的解析式為y=x+2，
∴∠BCO=45°=∠BOA．
又∵∠CBO=∠OBA，
∴△BCO∽△BOA，
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{OA}{CO}$，
∴2AB=OA•OB，即8$\sqrt{6-2c}$=$\sqrt{44-8c-24\sqrt{3-c}}$•$\sqrt{44-8c+24\sqrt{3-c}}$，
整理得：4c²-11=0，
解得：c=$\frac{\sqrt{11}}{2}$或c=-$\frac{\sqrt{11}}{2}$（不合題意，舍去）．
故答案為：$\frac{\sqrt{11}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及兩點間的距離公式，利用相似三角形的性質(zhì)找出4c²-11=0是解題的關(guān)鍵．