Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終保持AM⊥MN．
（1）請(qǐng)你找出圖中一對(duì)相似三角形，并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段CN的長(zhǎng)度最大？求出此時(shí)BM和CN的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)進(jìn)而得出得出對(duì)應(yīng)角之間關(guān)系進(jìn)而求出即可；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)最值求法得出即可．

解答：（1）答：△ABM∽△MCN，
證明：∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠CMN=90°，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴△ABM∽△MCN；

（2）解：設(shè)BM=x，由（1）知，△ABM∽△MCN，
∴

AB

MC

=

BM

CN

，即

6

6-x

=

x

CN

，
則CN=

1

6

x（6-x）=-

1

6

（x-3）²+

3

2

，
故當(dāng)x=3時(shí)，即點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)時(shí)，線段CN的長(zhǎng)度最大，
此時(shí)，BM=3，CN=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．