Question

13．如圖，在△ABC中，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，過點(diǎn)D作DE∥AC，DE∥AB，分別交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)圖象大致為（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 設(shè)BC=a，△ABC的面積為m，根據(jù)DE∥AC、DF∥AB知△BDE∽△BCA、△CDF∽△CBA，由相似三角形性質(zhì)表示出△BDE和△CDF的面積，根據(jù)S=S_△ABC-S_△BDE-S_△CDF列出S關(guān)于t的函數(shù)解析式即可判斷．

解答 解：根據(jù)題意，BD=t，設(shè)BC=a，△ABC的面積為m，則CD=a-t，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△BDE}}{m}=（\frac{BD}{BC}）^{2}$，即$\frac{{S}_{△BDE}}{m}=\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}$，可得：${S}_{△BDE}=\frac{m}{{a}^{2}}•{t}^{2}$，
$\frac{{S}_{△CDF}}{m}=（\frac{CD}{BC}）^{2}$，即$\frac{{S}_{△CDF}}{m}=\frac{（a-t）^{2}}{{a}^{2}}$，可得：${S}_{△CDF}=\frac{m}{{a}^{2}}•（a-t）^{2}$，
則S=m-$\frac{m}{{a}^{2}}•{t}^{2}$-$\frac{m}{{a}^{2}}•（a-t）^{2}$=-$\frac{2m}{{a}^{2}}•{t}^{2}-\frac{2m}{a}•t$，
∵m，a均為定值，
∴S是關(guān)于t的二次函數(shù)，且該函數(shù)圖象開口向下，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出兩小三角形的面積是前提，列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．