Question

15．探索與發(fā)現(xiàn)
（1）正方形ABCD中有菱形PEFG，當(dāng)它們的對(duì)角線重合，且點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖1），通過觀察或測(cè)量，猜想線段AE與CG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）當(dāng)（1）中的菱形PEFG沿著正方形ABCD的對(duì)角線平移到如圖2的位置時(shí)，猜想線段AE與CG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論AE=CG．只要證明△ABE≌△CBG，即可解決問題．
（2）結(jié)論不變，AE=CG．如圖2中，連接BG、BE．先證明△BPE≌△BPG，再證明△ABE≌△CBG即可．

解答 解：（1）結(jié)論：AE=CG．
理由：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
∵四邊形PEFG是菱形，
∴BE=BG，∠EBD=∠GBD，
∴∠ABE=∠CBG，
在△ABE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBG}\\{BE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG．

（2）結(jié)論不變，AE=CG．
理由：如圖2中，連接BG、BE．

∵四邊形PEFG是菱形，
∴PE=PG，∠FPE=∠FPG，
∴∠BPE=∠BPG，
在△BPE和△BPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{∠BPE=∠BPG}\\{PE=PG}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△BPG，
∴BE=BG，∠PBE=∠PBG，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABE=∠CBG，
在△ABE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBG}\\{BE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．