Question

18．定義：如果兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數(shù)根，我們稱這兩個方程為“友好方程”．如果關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+5m=mx+5與x²+$\sqrt{2}$x+m-1=0互為“友好方程”，求m的值．

Answer 1

分析 先利用因式分解法解方程x²-4x+5m=mx+5，得到x₁=5，x₂=m-1．再分別將x=5，x=m-1代入x²+$\sqrt{2}$x+m-1=0，求出m的值即可．

解答 解：x²-4x+5m=mx+5，
整理得，x²-（4+m）x+5（m-1）=0，
分解因式得，（x-5）[x-（m-1）]=0，
解得x₁=5，x₂=m-1．
當(dāng)x=5時，25+5$\sqrt{2}$+m-1=0，解得m=-24-5$\sqrt{2}$；
當(dāng)x=m-1時，（m-1）²+$\sqrt{2}$（m-1）+m-1=0，解得m=1或m=-$\sqrt{2}$．
所以m的值為-24-5$\sqrt{2}$或1或-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程x²-4x+5m=mx+5的兩個解是解題的關(guān)鍵．