Question

19．如圖，已知等邊△ABC以邊BC為直徑的半圓與邊AB、AC分別交于點D、點E，過點E作EF⊥AB，垂足為點F．
（1）請判斷EF與⊙O的位置關系，并證明你的結(jié)論；
（2）過點F作FH⊥BC，垂足為點H，若等邊△ABC的邊長為8，求FH的長．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）首先得出△OCE是等邊三角形，進而利用平行線的判定與性質(zhì)得出EF⊥EO，即可得出答案；
（2）直接利用三角形中位線的性質(zhì)得出AE的長，再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．

解答 解：（1）EF是⊙O的切線，
理由：連接EO，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵EO=CO，
∴△OCE是等邊三角形，
∴∠EOC=∠B=60°，
∴EO∥AB，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥EO，
∴EF是⊙O的切線；

（2）∵EO∥AB，
∴EO是△ACB的中位線，
∵AC=8，
∴AE=CE=4，
∵∠A=60°，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°，
∴AF=2，
∴BF=6，
∵FH⊥BC，∠B=60°．
∴∠BFH=30°，
∴BH=3，
∴FH²=BF²-BH²，
∴FH=3$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了直線和圓的位置以及三角形中位線定理等知識，正確得出△OCE是等邊三角形是解題關鍵．