Question

14．如圖，已知銳角△ABC中，邊BC長(zhǎng)為12，高AD長(zhǎng)為8．矩形EFGH的邊GH在BC邊長(zhǎng)，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K．
（1）若EH=3，求EF的長(zhǎng)．
（2）設(shè)EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，推出$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，由此即解決問(wèn)題．
（2）用類似（1）的方法求出EF，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{EF}{12}$=$\frac{5}{8}$，
∴EF=$\frac{15}{2}$．

（2））∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∴$\frac{EF}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$（8-x），
∴S=x•$\frac{3}{2}$（8-x）=-$\frac{3}{2}$x²+12x=-$\frac{3}{2}$（x-4）²+24．
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴S有最大值，最大值為24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，屬于中考常考題型．