Question

已知：如圖1，在矩形ABCD中，把△BCD沿BD向上折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點M．
（1）求證：BM=DM；
（2）如圖2，把△BAD沿BD向下折疊，使點A落在A′處，DA′交BC于點N，連接MN，判斷四邊形MBND是什么特殊的四邊形，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接MA′和MC，若CD=6，AD=8，請求出△MA′C的面積．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)和等角對等邊即可證明；
（2）先證明四邊形MBND是平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的四邊形是菱形求解即可；
（3）作A′H⊥BC于H，連接MA′，MC．先根據(jù)勾股定理得到x的值，再根據(jù)S_△MA′C=S_{四邊形MBA′C}-S_△MBA′列式計算即可求解．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠MDB，
∵∠MBD=∠CBD，
∴∠MBD=∠MDB，
∴MB=MD；
（2）菱形．理由如下
解：同理可知BN=ND，
∴∠NBD=∠NDB，
∵∠MBD=∠DBN，
∴∠MBD=∠BDN，
∴BM∥ND，
∵MD∥BN，
∴四邊形MBND是平行四邊形，
∵MB=MD，
∴四邊形MBND是菱形；
（3）解：作A′H⊥BC于H，連接MA′，MC，
設(shè)NC=NA′=x
在RT△BA′N中BA′=6，A′N=x，BN=8-x
∴6²+x²=（8-x）²，
∴x=

7

4

，
∵BA′•A′N=A′H•BN
∴A′H=

42

25

∴S_△MA′C=S_{四邊形MBA′C}-S_△MBA′
=

1

2

×8×6+

1

2

×8×

42

25

-

1

2

×6×

25

4

=

2447

100

．

點評：考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），涉及的知識點有：矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等角對等邊，平行四邊形的判定，菱形的判定，勾股定理，三角形的面積計算，綜合性較強，有一定的難度．