Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：OD∥AC；
（2）當(dāng)AB=10，cos∠ABC=

5

5

時(shí)，求AF及BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）若要證明OD∥AC，則可轉(zhuǎn)化為證明∠C=∠ODB即可；
（2）連接AD，首先利用已知條件可求出BD的長(zhǎng)，再證明△ADC∽△AFD，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可求出AF及BE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，

（2）連接AD，
∵AB為直徑，
∴AD⊥BD，
∴∠ADC=90°，
∵AB=10，cos∠ABC=

5

5

，
∴BD=AB•cos∠ABC=2

5

，
∴AD=4

5

，
∵DF是圓的切線，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵AC∥OD，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADC=∠AFD，∠DAF=∠CAD，
∴△ADC∽△AFD，
∴

AD

AF

=

AC

AD

，
∴

4 5

AF

=

10

4 5

，
∴AF=8，
∵OD∥AF，
∴

EO

EA

=

OD

AF

，
∴

BE+5

BE+10

=

5

8

，
∴BE=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)和相似三角形的判定和性質(zhì)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．