Question

19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，$\sqrt{3}$）兩點，點C為線段AB上的一動點，過點C作CD⊥x軸于點D．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若S_梯形OBCD=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，求點C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）因為直線AB與x軸，y軸分別交于A（3，0），B（0，$\sqrt{3}$）兩點，所以可設(shè)y=kx+b，將A、B的坐標(biāo)代入，利用方程組即可求出答案；
（2）因為點C為線段AB上的一動點，CD⊥x軸于點D，所以可設(shè)點C坐標(biāo)為（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$），那么OD=x，CD=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，利用梯形的面積公式可列出關(guān)于x的方程，解之即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b，
把A，B的坐標(biāo)代入得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\sqrt{3}$
所以直線AB的解析為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

（2）設(shè)點C坐標(biāo)為（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$），那么OD=x，CD=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．
∴S_梯形OBCD=$\frac{（OB+CD）•OD}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\sqrt{3}$x．
由題意：-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\sqrt{3}$x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得x₁=2，x₂=4（舍去），
∴C（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題綜合考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和解一元二次方程的有關(guān)知識，解決這類問題常用到方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．