Question

13．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，且CE=$\frac{1}{3}$CD，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：AB=BG；
（2）求BF的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)P是射線BG上的一點(diǎn)，當(dāng)BP的長(zhǎng)為多少時(shí)，△BCP與△BCD相似？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用三角形的中位線定理解答即可；
（3）分兩種情況進(jìn)行分析，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．

解答 證明：（1）∵BF∥DE，且AD=BD，
∴AC=CG，
∴BG=2CD，
∵∠C=90°，AD=BD，
∴AB=2CD，
∴AB=BG；
（2）∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴CD=2.5，
∵CE=$\frac{1}{3}$CD，
∴DE=$\frac{10}{3}$，
∴BF=2DE=$\frac{20}{3}$；
（3）由于AB=BG，∠C=90°，所以∠DBC=∠PBC．
第一種情況：若∠CDB=∠CPB，如圖1：

在△BCP與△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠CPB}\\{∠DBC=∠PBC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△BCD（AAS），
∴BP=CD=2.5；
第二種情況：若∠PCB=∠CDB，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥BG于H點(diǎn)．如圖2：

∵∠CBD=∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∵CH⊥BG，
∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，
∴△ABC∽△CBH，
∴$\frac{AB}{CB}=\frac{BC}{BH}$，
∴$BH=\frac{16}{5}，BP=\frac{32}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查四邊形綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理和全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．