Question

2．如圖（1），AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
①讀下列過程，并填寫理由．
解：猜想∠BPD+∠B+∠D=360°．
理由：過點P作EF∥AB．
∴∠B+∠BPE=180°．（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（輔助線的作法）．
∴CD∥EF．（平行線公理的推論）
∴∠EPD+∠CDP=180°．
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°．
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
②仿照上面的解題方法，觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
③觀察圖（3）和圖（4），已知AB∥CD，直接寫出圖中的∠BPD與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由．

Answer 1

分析 ①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到的∠B+∠BPE=180°，∠EPD+∠CDP=180°．等量代換即可得到結(jié)論；
②首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．
③由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系．

解答 解：①猜想∠BPD+∠B+∠D=360°．
理由：過點P作EF∥AB．
∴∠B+∠BPE=180°．（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（輔助線的作法）．
∴CD∥EF．（平行線公理的推論）
∴∠EPD+∠CDP=180°．
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°．
∴∠B+∠BPD+∠D=360°．
故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，平行線公理的推論；
②∠BPD=∠B+∠D．
理由：如圖2，過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
③如圖（3）：∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠P，
∴∠D=∠B+∠P，
即∠BPD=∠D-∠B；
如圖（4）：∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠P，
∴∠B=∠D+∠P，
即∠BPD=∠B-∠D．

點評 此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理的應(yīng)用，注意輔助線的作法．