Question

3．AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點(diǎn)C，BE⊥CD于E，連接AC、BC．
（1）求證：BC平分∠ABE；
（2）若⊙O的半徑為3，BE=4，求AC、BC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由于CD是⊙O的切線，所以∠OCD=90°，所以易證：∠OCD=∠BED，由于∠OCB=∠OBC，所以BC平分∠ABE；
（2）易證△ABC∽△CBE，從而可知$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BE}$，由于AB與BE的長度可求，所以BC的長度可求出，利用勾股定理即可求出AC的長度．

解答 解：（1）連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED=90°，
∴∠OCD=∠BED，
∴OC∥BE，
∴∠OCB=∠CBE
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠OBC，
∴BC平分∠ABE；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BEC，
∵∠ABC=∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BE}$，
∴BC²=AB•BE，
∵AB=6，BE=4，
∴BC=2$\sqrt{6}$，
在Rt△ACB中，
∴由勾股定理可知：AC=2$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，涉及切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)，本題屬于中等題型．