Question

12．如圖，在坡頂B處的同一水平面上有一座紀念碑CD垂直于水平面，小明在斜坡底A處測得該紀念碑頂部D的仰角為45°，然后他沿著坡比i=5：12的斜坡AB攀行了39米到達坡頂，在坡頂B處又測得該紀念碑頂部的仰角為68°．求坡頂B到地面AE的距離和紀念碑CD的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin68°=0.9，cos68°=0.4，tan68°=2.5）

Answer 1

分析 過點B作BG⊥AE，垂足為點G，如圖．根據(jù)已知條件得到設(shè)BG=5k，則AG=12k，在Rt△BAG中，由勾股定理得，AB=13k，得到BG=15，于是得到坡頂B到AE的距離為15米．延長DC交AE于點F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DF⊥AE，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AF=DF，設(shè)DC=x，則AF=36+GF，DF=x+15，得到BC=GF=x-21，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：過點B作BG⊥AE，垂足為點G，如圖．
∵i=tan∠BAG=$\frac{BG}{AG}$=5：12，
∴設(shè)BG=5k，則AG=12k，
在Rt△BAG中，由勾股定理得，AB=13k，
∴13k=39，解得k=3，
∴BG=15，
∴坡頂B到AE的距離為15米．
延長DC交AE于點F，
∵BC⊥DC，BC∥AE，
∴DF⊥AE，
∴四邊形BCFG是矩形，CF=BG=15，BC=GF，
∵∠DAF=45°，
∴AF=DF，
設(shè)DC=x，則AF=36+GF，DF=x+15，即x+15=35+GF，
∴BC=GF=x-21，
在Rt△DBC中，tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{x}{x-21}$≈2.5，
解得x≈35，
答：坡頂B到地面AE的距離為15米，紀念碑CD的高度約為35米．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度和仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識解直角三角形．