Question

1．如圖，AB為⊙O的直徑，P是AB延長線上一點(diǎn)，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，∠PCB=∠CDB，E是$\widehat{AC}$上的任一點(diǎn)，連接AE，BE，BE交弦CD于點(diǎn)F．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）證明：BC²=BF•BE；
（3）若BE∥PC時(shí)，sin∠P=$\frac{3}{5}$，CF=5，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接AC，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠PCB=∠1，∠ACB=90°，于是得到∠1+∠OBC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB=∠OBC，于是得到∠PCB+∠OCB=90°即可得到結(jié)論；
（2）連接CE，根據(jù)圓周角定理得到∠3=∠2，推出△EBC∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BC}{BF}=\frac{BE}{BC}$，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥BE，∠5=∠P，等量代換得到$\widehat{EC}=\widehat{BD}$，于是得到∠2=∠4，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：連接AC，OC，
∵∠PCB=∠BDC，∠BDC=∠1，
∴∠PCB=∠1，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠OBC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
即∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切線；

（2）連接CE，
∵AB⊥CD，AB為⊙O的直徑，
∴$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠4，
∴△EBC∽△CBF，
∴$\frac{BC}{BF}=\frac{BE}{BC}$，
∴BC²=BF•BE；

（3）∵BE∥PC，OC⊥PC，
∴OC⊥BE，∠5=∠P，
∴$\widehat{BE}=\widehat{BC}$，
∵$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴$\widehat{EC}=\widehat{BD}$，
∴∠2=∠4，
∴CF=BF=5，
∵sin∠5=sin∠p=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{FH}{5}=\frac{3}{5}$，
∴FH=3，
∴BH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，CH=5+3=8，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵r²=（r-4）²+8²，
∴r=10，
∵sin∠5=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{AE}{20}$，
∴AE=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．