Question

如圖，對(duì)稱軸為直線x=

1

2

的拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），AB=5
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及該拋物線對(duì)應(yīng)的解析式；
（2）D為BC的中點(diǎn)，延長OD與拋物線在第四象限內(nèi)交于點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE．
①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②判斷ABE的形狀，并說明理由；
（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OBEP是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；
（2）①首先求出直線OE的解析式，進(jìn)而與二次函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
②首先求出AE，BE的長，再利用勾股定理逆定理得出ABE的形狀；
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)與判定得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=

1

2

對(duì)稱，且AB=5
∴A（-2，0），B（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
把A（-2，0）B（3，0）C（0，-3）代入得：

4a-2b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a= 1 2 b=- 1 2 c=-3

，
∴該二次函數(shù)的解析式為：y=

1

2

x²-

1

2

x-3；

（2）①BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，-

3

2

），
設(shè)直線OE的解析式為：y=kx，
把  D（

3

2

，-

3

2

），代入得：k=-1，
∴OE：y=-x，
由

y=-x y= 1 2 x2- 1 2 x-3

，
得

x1=-3 y1=3

，

x2=2 y2=-2

∴E（2，-2），
②∵AE=

42+22

=

20

，BE=

12+22

=

5

，AB=5，
∴AB²=AE²+BE²，
∴△ABE是直角三角形；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)P
過E作PE∥OB，交拋物線于點(diǎn)P，得：
點(diǎn)P、E關(guān)于對(duì)稱軸x=

1

2

對(duì)稱
∴P的縱坐標(biāo)為-2，
由

1

2

x²-

1

2

x-3=-2得
x₁=-1，x₂=2，
∴P（-1，-2），
∴PE=3=OB，
∴四邊形OBEP是平行四邊形，
∴存在點(diǎn)P，使四邊形OBEP是平行四邊形，坐標(biāo)為（-1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及平行四邊形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．