Question

10．如圖，設P是等邊△ABC內的一點，PA=3，PB=5，PC=4，則∠APC=150°°．

Answer 1

分析 將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得△CEA，根據(jù)旋轉的性質得EC=BP=5，AE=AP=4，∠PAE=60°，則△APE為等邊三角形，得到PE=PA=3，∠APE=60°，在△EPC中，PE=3，PC=4，EC=5，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△EPC為直角三角形，且∠CPE=90°，即可得到∠APC的度數(shù)．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，
可將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得△CEA，
連EP，如圖，
∴EC=BP=5，AE=AP=4，∠PAE=60°，
∴△APE為等邊三角形，
∴PE=PA=3，∠APE=60°，
在△EPC中，PE=3，PC=4，EC=5，
∴CE²=PE²+PC²，
∴△EPC為直角三角形，且∠CPE=90°，
∴∠APC=90°+60°=150°．
故答案為150°．

點評 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理．