Question

如圖，在半徑為3的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）當BC=2時，求線段OD的長；
（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）利用垂徑定理，在直角△OBD中，利用勾股定理即可求解；
（2）連接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂徑定理得到D、E分別為BC、AC的中點，即ED為三角形ABC的中位線，由OA=OB=2，且∠AOB=90°，利用勾股定理求出AB的長，即可求出ED的長．

解答：解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=1，
在直角△OBD中，OD=

OB2-BD2

=

32-12

=2

2

；
（2）連接AB，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D、E分別為BC、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴根據(jù)勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=3

2

則DE=

1

2

AB=

3 2

2

．

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及三角形的中位線定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．