Question

在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，AG⊥EF，垂足為G，求證：AB=AG．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，則可把△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AQ=AE，∠EAQ=90°，∠ABQ=∠D=90°，則可判斷點(diǎn)Q在CB的延長線上，由∠EAF=45°得到∠QAF=90°-∠EAF=45°，然后根據(jù)“SAS”判斷△AFQ≌△AFE，得到FQ=FE，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等得到結(jié)論．

解答：證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴把△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABQ，如圖，
∴AQ=AE，∠EAQ=90°，∠ABQ=∠D=90°，
而∠ABC=90°，
∴點(diǎn)Q在CB的延長線上，
∵∠EAF=45°，
∴∠QAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠QAF，
在△AFQ和△AFE中，

AF=AF ∠QAF=∠EAF AQ=AE

，
∴△AFQ≌△AFE（SAS），
∴FQ=FE，
∵AB⊥FQ，AG⊥FE，
∴AB=AG．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)．