Question

如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）圖象上的一點(diǎn)，矩形OAPB的頂點(diǎn)A、B分別在x軸與y軸上，且邊PB、PA分別交反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象于E、F兩點(diǎn)，直線EF交x軸于點(diǎn)C，連接OE、OF．求證：DE=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：作EH⊥OA于H，F(xiàn)G⊥OB于G，如圖，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)P（a，

m

a

），則E的縱坐標(biāo)為

m

a

，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，于是可表示出E（a，

k

a

），F(xiàn)（

ak

m

，

m

a

），再證明△DBE∽△DGF得到

DE

DF

=

BE

GF

=

k

m

，根據(jù)比例的性質(zhì)得

DE

EF

=

k

m-k

①，再證明△CAF∽△CHE得到

CF

CE

=

AF

EH

=

k

m

，根據(jù)比例的性質(zhì)得

CF

EF

=

k

m-k

②，然后由①②即可得到DE=CF．

解答：解：作EH⊥OA于H，F(xiàn)G⊥OB于G，如圖，
設(shè)P（a，

m

a

），則E的縱坐標(biāo)為

m

a

，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，
∵E、F點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴E（a，

k

a

），F(xiàn)（

ak

m

，

m

a

），
∵BE∥GF，
∴△DBE∽△DGF，
∴

DE

DF

=

BE

GF

=

ak m

a

=

k

m

，
∴

DE

EF

=

k

m-k

①，
∵AF∥EH，
∴△CAF∽△CHE，
∴

CF

CE

=

AF

EH

=

k a

m a

=

k

m

，
∴

CF

EF

=

k

m-k

②，
由①②得

DE

EF

=

CF

EF

，
∴DE=CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和矩形的性質(zhì)；會(huì)使用相似三角形的判定與性質(zhì)解決線段之間的關(guān)系；會(huì)運(yùn)用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．