Question

20．我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．
【發(fā)現(xiàn)與證明】在?ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．
（1）填空：B′E=DE（填“＜，=，＞”）；
（2）求證：B′D∥AC．
【應(yīng)用與探究】
在?ABCD中，已知：BC=4，∠B=60°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．若以A、C、D、B′為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求AC的長(zhǎng)．（要求畫出圖形）

Answer 1

分析 [發(fā)現(xiàn)與證明]（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性質(zhì)得出∠ACB=∠ACB′，證出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DE=B′E，證出∠CB′D=∠B′DA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
[應(yīng)用與探究]：分兩種情況：①由矩形的性質(zhì)得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函數(shù)即可求出AC；②由矩形的性質(zhì)和已知條件得出AC=4$\sqrt{3}$．

解答 解：[發(fā)現(xiàn)與證明]：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB′C，
∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，
∴∠EAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
即△ACE是等腰三角形；
∴DE=B′E；
故答案為：=；

（2）∵DE=B′E，
∴∠CB′D=∠B′DA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B′ED），
∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠ACB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC；

[應(yīng)用與探究]：分兩種情況：①如圖1所示：
∵四邊形ACDB′是矩形，
∴∠CAB′=90°，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=60°，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=2$\sqrt{3}$；
②如圖2所示：
∵四邊形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
∵BC=4，∠B=60°，
∴AC=4$\sqrt{3}$，
綜上所述：AC的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$或4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、翻折變換、等腰三角形的判定以及平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．