Question

14．如圖1，已知拋物線y=ax²-2ax+3（a≠0），與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，若OB=3OA．    
（1）求拋物線的解析式；    
（2）連接BC，點P、點Q是第一象限的拋物線上不同的兩點，是否存在這樣的P點，使得S_△BCP＞S_△BCQ恒成立？若存在，請求P點的坐標；若不存在，請說明理由；   
（3）如圖2，D為拋物線的頂點在x軸上的正投影，M為線段OC上一點，過點M作直線l交拋物線于E、F兩點，連接AE、OE、BF、DF，若△AEO∽△DFB，求M點的坐標．

Answer 1

分析 （1）設A（m，0），B（-3m，0），代入函數解析式后即可求得m的值，從而求得A、B兩點的坐標，確定函數的解析式；
（2）設l解析式：y=-x+k，根據兩函數有公共點得到-x+k=-x²+2x+3，得x²-3x+k-3=0，然后根據l與拋物線相切時，與拋物線只有一個交點，得到△=21-4k=0，求得k值后即可求得點P的坐標；
（3）可設M（0，m），過點M的直線y=kx+m，可得：kx+m=-x²+2x+3，然后用k表示出m=3k，得到△=k²-16k+16后即可得到3$\sqrt{{k}^{2}-16k+16}$=8-k，從而求得k值后即可得到點M的坐標．

解答 解：（1）設A（m，0），B（-3m，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}-2am+3=0}\\{9a{m}^{2}+6am+3=0}\end{array}\right.$，
解得：m=-1，或m=0（舍去），
∴A（-1，0），B（3，0），
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；

（2）存在．如圖，l為直線BC的平行線，
當l與拋物線相切時，S△BCP最大，又P、Q為拋物線上的兩個不同點，
∴S_△BCP＞S_△BCQ恒成立，
設l解析式：y=-x+k，
∴-x+k=-x²+2x+3，得x²-3x+k-3=0，
l與拋物線相切時，與拋物線只有一個交點，
∴△=21-4k=0，
解得：k=$\frac{21}{4}$，此時，x=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）可設M（0，m），過點M的直線y=kx+m，
可得：kx+m=-x²+2x+3，
解得：x=$\frac{2-k±\sqrt{（k-2）^{2}-4（m-3）}}{2}$，
∴E（$\frac{2-k-\sqrt{△}}{2}$，$\frac{2k-{k}^{2}+k\sqrt{△}}{2}+m$），
F（$\frac{2-k+\sqrt{△}}{2}$，$\frac{2k-{k}^{2}+\sqrt{△}}{2}+m$），
∵△AEO∽△DFB，
∴$\frac{AP}{DQ}=\frac{EP}{FQ}=\frac{AO}{DO}=\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-k+\sqrt{△}}{2}+1=\frac{1}{2}（\frac{2-k+\sqrt{△}}{2}-1）}\\{\frac{2k-{k}^{2}-k\sqrt{△}}{2}+m=\frac{1}{2}（\frac{2k-{k}^{2}+k\sqrt{△}}{2}+m）}\end{array}\right.$
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{k+3\sqrt{△}=8}\\{{k}^{2}+3k\sqrt{△}-2k-2m=0}\end{array}\right.$，
解得：m=3k，
∴△=k²-16k+16，
∴3$\sqrt{{k}^{2}-16k+16}$=8-k，
解得：k=8±3$\sqrt{6}$，
∴m=24-9$\sqrt{6}$或m=24+9$\sqrt{6}$（舍去），
∴M（0，24-9$\sqrt{6}$）．

點評 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．