Question

6．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M為DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BM，過(guò)點(diǎn)C作CN∥BM，交AD于點(diǎn)N，在CD延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使BM=CF-DN，連接BF，交CN于點(diǎn)E．
求證：BC=EC．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CN，交CD于點(diǎn)G，先證明△BCG≌△CDN，得出BG=CN，CG=DN，再證出CN=BM，得出BG=FG，得出∠FBG=∠F  然后證出∠EBC=∠BEC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CN，交CD于點(diǎn)G，則∠2+∠BCN=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDA=90°，
即∠1+∠BCN=90°，
∴∠2=∠1，
在△BCG和△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{BC=CD}&{\;}\\{∠BCG=∠CDN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△CDN（ASA），
∴BG=CN，CG=DN，
∵M(jìn)N∥BC，BM∥CN，
∴四邊形BCNM是平行四邊形，
∴CN=BM，
∴BG=BM=CF-DN=CF-CG=FG，
∴∠FBG=∠F，
∵∠EBC=∠2+∠FBG，∠BEC=∠1+∠F，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=EC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．