Question

如圖，二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象與x軸交于M（-1，0），N（3，0）兩點，橫坐標(biāo)為-2的點S是拋物線上一定點，點A是拋物線上的動點．若點A從點S出發(fā)，橫坐標(biāo)以1個單位的速度增加，沿拋物線運動，過點A作矩形ABCD，AB∥x軸，AD∥y軸，且AB=2，AD=1．點P以1個單位的速度同時從點A出發(fā)，沿A→B→C→D→A的方向在矩形的邊上運動．當(dāng)點P返回A點時，運動均停止．設(shè)點A的運動時間為t．
（1）求點S的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點t=2.5時，求P點坐標(biāo)；
（3 以點P為圓心，

t

2

長為半徑作圓．當(dāng)t為何值時，⊙P與x軸相切．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后把S點的橫坐標(biāo)代入即可求得．
（2）先求得A點的橫坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可求得縱坐標(biāo)，然后根據(jù)題意求得P點的坐標(biāo)．
（3）先求得P點的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)題意使縱坐標(biāo)等于

t

2

或-

t

2

即可列出關(guān)于t的一元二次方程，解這個方程即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象與x軸交于M（-1，0），N（3，0）兩點，
∴

1 2 × 1 4 -b+c=0 1 2 ×9+3b+c=0

 解得：

b=-1 c=- 3 2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
把x=-2代入解析式得：y=

1

2

×4+2-

3

2

=

5

2

，
∴S（-2，

5

2

），

（2）∵點A從點S出發(fā)，橫坐標(biāo)以1個單位的速度增加，t=2.5，
∴A的橫坐標(biāo)為：x=-2+2.5=

1

2

，
把x=

1

2

代入y=

1

2

x²-x-

3

2

，解得：y=-

15

8

，
∴A（

1

2

，-

15

8

），
∵AB=2，AD=1，
∴P點的橫坐標(biāo)：x=

1

2

+2=

5

2

，縱坐標(biāo)y=-

15

8

-

1

2

=-

19

8

．
∴P（

5

2

，-

19

8

）．

（3）當(dāng)0≤t≤2時，根據(jù)題意A點的橫坐標(biāo)為：x=-2+t，
代入y=

1

2

x²-x-

3

2

得：y=

1

2

t²-3t+

5

2

，
∴A（-2+t，

1

2

t²-3t+

5

2

），
∴P（-2+2t，

1

2

t²-3t+

5

2

），
根據(jù)題意
∴

1

2

t²-3t+

5

2

=

t

2

，或

1

2

t²-3t+

5

2

=-

t

2

，
整理得：t²-7t+5=0，或t²-5t+5=0
解得：t=

7- 29

2

，t=

7+ 29

2

（舍去）或t=

5- 5

2

，t=

5+ 5

2

（舍去）
當(dāng)2＜t≤3時，∵A（-2+t，

1

2

t²-3t+

5

2

），
∴P點的橫坐標(biāo)=-2+t+2=t，縱坐標(biāo)=

1

2

t²-3t+

5

2

-（t-2）=

1

2

t²-4t+

9

2

，
根據(jù)題意得：

1

2

t²-4t+

9

2

=

t

2

，
整理得t²-7t+9=0，
解得：t=

7+ 13

2

，t=

7- 13

2

（都不合題意）
∴t不存在；
當(dāng)3＜t≤5時，∵A（-2+t，

1

2

t²-3t+

5

2

），
∴P點的橫坐標(biāo)=-2+t+[2-（t-3）]=3，縱坐標(biāo)=

1

2

t²-3t+

5

2

-1=

1

2

t²-3t+

3

2

，
根據(jù)題意得：

1

2

t²-3t+

3

2

=-

t

2

，
整理得：t²-5t+3=0，
解得：t=

5+ 13

2

，t=

5- 13

2

（舍去），
當(dāng)5＜t≤6時，P點的橫坐標(biāo)=-2+t，縱坐標(biāo)=

1

2

t²-3t+

5

2

-（6-t）=

1

2

t²-2t+

7

2

，
根據(jù)題意得：

1

2

t²-2t+

7

2

=

t

2

，
整理得；t²-3t+7=0，無解，
∴t不存在，
∴當(dāng)t=

7- 29

2

，t=

5- 5

2

，t=

5+ 13

2

時，⊙P與x軸相切．

點評：此題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的橫坐標(biāo)求縱坐標(biāo)，解一元二次方程等；應(yīng)用分類思想求運動過程中圖形的變化是本題的關(guān)鍵，此題綜合性強，難度大．