Question

17．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-$\frac{1}{3}$+b與x軸交于點A，與雙曲線y=-$\frac{6}{x}$在第二象限內(nèi)交于點B（-3，a）．
（1）求a和b的值；
（2）過點B作直線l平行x軸交y軸于點C，若點P是x軸上的一點，當△BPC周長最小時，求點P的坐標；
（3）若點D在第二象限雙曲線上運動，滿足S_△ABD=S_△ABO，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）先把B（-3，a）代入反比例函數(shù)解析式可計算出a=2，得到B點坐標，然后把B點坐標代入y=-$\frac{1}{3}$x+b可計算出b的值；
（2）作C關(guān)于x軸的對稱點C′，連接BC′交x軸于P，此時，△BPC周長最小，先求得C的對稱點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC′的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-2，令y=0，則求得P的坐標；
（3）設(shè)D（x，-$\frac{6}{x}$），作DE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，先求得S_△AOB=3，然后根據(jù)S_△ABD=S_△ABF+S_梯形BDEF-S_△ADE=3，列出關(guān)于x的方程，解方程即可求得D的坐標．

解答 解：（1）把B（-3，a）代入y=-$\frac{6}{x}$得-3a=-6，解得a=2，
則B點坐標為（-3，2）
把B（-3，2）代入y=-$\frac{1}{3}$x+b得1+b=2，解得b=1；
（2）如圖1，作C關(guān)于x軸的對稱點C′，連接BC′交x軸于P，此時，△BPC周長最小，
∵B（-3，2），
∴C（0，2），
∴C′（0，-2），
設(shè)直線BC′的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3m+m=2}\\{n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{3}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC′的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-2，
令y=0，則求得x=-$\frac{3}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，0）；
（3）如圖2，設(shè)D（x，-$\frac{6}{x}$），作DE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，
∵由直線y=-$\frac{1}{3}$x+1可知A（3，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
∴S_△ABD=S_△ABF+S_梯形BDEF-S_△ADE=3或S_△ABD=S_梯形BDEF+S_△ADE-S_△ABF=3，
即$\frac{1}{2}$×6×2+$\frac{1}{2}$（-x-3）（-$\frac{6}{x}$+2）-$\frac{1}{2}$（3-x）（-$\frac{6}{x}$）=3或$\frac{1}{2}$（3+x）（-$\frac{6}{x}$+2）+$\frac{1}{2}$（3-x）（-$\frac{6}{x}$）-$\frac{1}{2}$×6×2=3，
整理得，x²=18或x²-6x-18=0
∵x＜0，
∴x=-3$\sqrt{2}$或x=3-3$\sqrt{3}$
∴D（-3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或（3-3$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，軸對稱-最短路線問題，三角形的面積等，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．