Question

8．如圖所示，已知ABC，∠C=90°，AC=BC=4，現(xiàn)將△ABC沿CB方向平移到△A₁B₁C₁的位置．
（1）若平移的距離為1.5，求△ABC和△A₁B₁C₁的重疊部分的面積；
（2）若設(shè)平移距離為x，△ABC和△A₁B₁C₁重疊部分的面積為y，試用含x的代數(shù)式表示y．

Answer 1

分析 （1）AB與A₁C₁交于點(diǎn)D，如圖，先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠ABC=45°，再根據(jù)平移的性質(zhì)得到CC₁=1.5，∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，則BC₁=BC-CC₁=$\frac{5}{2}$，可判斷△DC₁B為等腰直角三角形，然后根據(jù)三角形面積公式求S_△DBC1即可；
（2）由（1）得△DC₁B為等腰直角三角形，根據(jù)平移的性質(zhì)得CC₁=x，則BC₁=BC-CC₁=4-x，所以DC₁=BC₁=4-x，然后根據(jù)三角形面積公式易得y=$\frac{1}{2}$（4-x）²（0≤x≤4）．

解答 解：（1）AB與A₁C₁交于點(diǎn)D，如圖，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵△ABC沿CB方向平移到△A₁B₁C₁的位置，
∴CC₁=1.5，∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，
∴BC₁=BC-CC₁=$\frac{5}{2}$，△DC₁B為等腰直角三角形，
∴DC₁=BC₁=$\frac{5}{2}$，
∴S_△DBC1=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{8}$，
即△ABC和△A₁B₁C₁的重疊部分的面積為$\frac{25}{8}$；
（2）由（1）得△DC₁B為等腰直角三角形，
∵CC₁=x，
∴BC₁=BC-CC₁=4-x，
∴DC₁=BC₁=4-x，
∴y=$\frac{1}{2}$（4-x）²（0≤x≤4）．

點(diǎn)評 本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．